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学习推荐说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.已知行列式 =0,则数a =( )
A.-3B.-2
C.2D.3
2.下列矩阵中不是初等矩阵的为( )
A. B.
C. D.
3.已知2阶矩阵A = 的行列式|A|=-1,则(A*)-1=( )
A. B.
C. D.
4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E,则C -1=( )
A.ABB.BA
C.A-1B-1D.B-1A-1
5.设A为2阶矩阵,若|3A|=3,则|2A|=( )
A. B.1
C. D.2
6.向量组 , ,…, (s≥2)的秩不为零的充分必要条件是( )
A. , ,…, 中没有线性相关的部分组
B. , ,…, 中至少有一个非零向量
C. , ,…, 全是非零向量
D. , ,…, 全是零向量
7.设A为m×n矩阵,则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
A.r(A)=nB.r(A)=m
C.r(A)
8.已知3阶矩阵A的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( )
A.AB.E-A
C.-E-AD.2E-A
9.设矩阵A= ,则二次型xTAx的规范形为( )
A. B.
C. D.
10.4元二次型f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为( )
A.1B.2
C.3D.4
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知行列式 =1,则 =______________.
12已知矩阵方程XA=B,其中A= ,B= ,则X=___________.
13.已知矩阵A=(1,2,-1),B=(2,-1,1),且C=ATB,则C2=__________.
14.设矩阵A= ,则 =_____________.
15.设向量组 =(1,0,0)T, =(0,1,0)T,且 ,则向量组
的秩为____________.
16.已知向量组 =(1,2,3,)T, =(2,2,2)T, =(3,2,a)T线性相关,则数a=________.
17.已知向量 =(3,k,2)T与 =(1,1,k)T正交,则数k=_______.
18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ,若该方程组无解,则a的取值为_________.
19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,则|E+A|=_______.
20.已知3元二次型f(x1,x2,x3)=(1-a) + +(a+3) 正定,则数a的最大取值范围是_______.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式D= 的值.
22.设矩阵A= ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+E,求|B|.
23.已知线性方程互组
(1)讨论当a为何值时,方程组无解、有惟一解、有无穷多个解;
(2)当方程组有无穷多个解时,求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
24.设向量组 =(1,4,1,0)T, =(2,1,-1,-3)T, =(1,0,-3,-1)T,
=(0,2,-6,3)T,求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.
25.已知矩阵A= 与B= 相似,求数a,b的值.
26.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3,求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.
四、证明题(本大题6分)
27.设矩阵A满足A2=E,且A的特征值全为1,证明A=E.
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