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本试卷总分100分,考试时间150分钟。
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.已知函数,则( )
A.2x-2y
B.2x+2y
C.x+y
D.x-y
3.顶点坐标为(0,0),(0,1),(1,1)的三角形面积可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
2.设函数,则点(0,0)是f(x,y)的( )
A.间断点
B.驻点
C.极小值点
D.极大值点
5.幂级数的和函数为( )
A.
B.
C.
D.
4.微分方程是( )
A.可分离变量的微分方程
B.齐次微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程
二、填空题(本大题共5小题,每空2分,共10分)
1.设向量α={-1,1,-1}与向量β={a,b,c},则α·β______。
2.已知函数______。
3.设为上半球面,则对面积的曲面积分______。
4.微分方程的形式应设为______。
5.设 f(x)是周期为2 π的周期函数,它在 [ -π,π)上的表达式为s (x)是f(x)傅里叶级数的和函数,则s (-π)= ______。
三、计算题(每小题5分,共60分)
1.设平面π:2x-y+z=1和直线L:,求平面π与直线L的夹角φ.
3.设函数,求全微分dz.
4.求函数在点处,沿与x轴正向成45°角的方向l的方向导数.
6.计算二重积分,其中积分区域.
9.计算对坐标的曲线积分其中L是抛物线上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧.
10.求微分方程的通解.
12.已知无穷级数收敛,并且 (1)求 (2)求
2.设方程确定函数z=z(x,y),求
5.求曲面上平行于平面2x+3y+4z=18的切平面方程.
7.计算三重积分.其中积分区域Ω:X≤1,-1≤y≤0,0≤z≤2.
8.计算对弧长的曲线积分其中L为圆周
11.判断级数是否收敛,如果收敛是条件收敛还是绝对收敛?
四、综合题(每小题5分,共15分)
2.验证在整个oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
1.用钢板做一个容积为8cm^3的长方体箱子,试问其长、宽、高各为多少cm时,可使所使用的钢板最省?
3.将函数展开成的幂级数.
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