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本试卷总分100分,考试时间150分钟。
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.在空间直角坐标系下,方程2x^2+3y^2=6表示的图形为( )
A.椭圆
B.柱面
C.旋转抛物面
D.球面
3.设积分区域≤R^2,0≤z≤1,则三重积分( )
A.
B.
C.
D.
4.以y=sin 3x为特解的微分方程为( )
A.
B.
C.
D.
2.极限arcsin(x+y^2)=( )
A.
B.
C.
D.
5.设正项级数收敛,则下列无穷级数中一定发散的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5小题,每空2分,共10分)
1.向量与x轴的夹角= __________。
2.设函数,则__________。
3.设是上半球面的上侧,则对坐标的曲面积分= __________。
4.微分方程的阶数是__________。
5.设 f(x) 是周期为的函数,上的表达式为s(x)是f(x) 的傅里叶级数的和函数,则s(0) __________。
三、计算题(每小题5分,共60分)
1.设平面π过点P1(1,2,-1)和点P2(-5,2,7),且平行于y轴,求平面π的方程.
2.设函数,求.
3.设函数,求全微分dz.
4.设函数,其中f (u, v)具有一阶连续偏导数,求和.
5.求曲面x^2+y^2+2z^2=23在点(1,2,3)处的切平面方程.
9.计算对坐标的曲线积分,其中C为区域D:| x |≤1,| y |≤1 的正向边界曲线.
11.判断无穷级数的敛散性.
8.计算对弧长的曲线积分,其中C是圆周x^2+y^2=4的上半圆.
7.计算三重积分,其中Ω是由曲面z=x^2+y^2,z=0及x^2+y^2=1所围区域.
6.计算二重积分,其中积分区域D:x^2+y^2≤a^2.
10.求微分方程的通解.
12.将函数展开为x+1的幂级数.
四、综合题(每小题5分,共15分)
1.设函数,其中为可微函数. 证明:
2.设曲线y=y (x)在其上点(x, y)处的切线斜率为,且曲线过点(1,1),求该曲线的方程.
3.证明:无穷级数.
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