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本试卷总分100分,考试时间150分钟。
一、单项选择题(每小题2分,共40分)
1.函数y=的周期为( )
A.π
B.4π
C.2π/3
D.6π
2.极限( )
A.0
B.1
C.-π/2
D.π/2
3.当x→0时,函数e^x-cosx是x^2的( )
A.低阶无穷小量
B.等价无穷小量
C.高阶无穷小量
D.同阶但非等价的无穷小量
5.设函数y=x^(cosx)(x>0),则( )
A.
B.
C.
D.
6.设函数y=f(),其中f(u)为可导函数,则( )
A.
B.
C.
D.
7.对于曲线y=ln(1+x^2),下面正确的结论是( )
A.(0,0)点是曲线的拐点
B.(1,ln2)点是曲线的拐点
C.(0,0)点是曲线的极值点
D.(-1,ln2)点不是曲线的拐点
8.不定积分( )
A.
B.
C.
D.
4.曲线y=( )
A.有且仅有水平渐近线
B.有且仅有垂直渐近线
C.既无水平渐近线也无垂直渐近线
D.既有水平渐近线也有垂直渐近线
9.定积分( )
A.
B.
C.
D.
11.极限( )
A.-1
B.0
C.1
D.不存在
15.设函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内具有连续二阶偏导数,且,则f(x0,y0) ( )
A.必为f(x,y)的极小值
B.必为f(x,y)的极大值
C.必为f(x,y)的极值
D.不一定是f(x,y)的极值
16.设积分区域B:x^2+y^2≤2x,则二重积分( )
A.
B.
C.
D.
17.微分方程y'-y=1的通解是( )
A.
B.
C.
D.
18.用待定 系数法求微分方程y"-3y'+2y=sinx的一个特解时,应设特解的形式为( )
A.asinx
B.acosx
C.acosx+bsinx
D.x(acosx+bsinx)
10.设函数f(x)为连续函数,且满足f(x)=4x-,则=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
19.下列无穷级数中绝对收敛的是( )
A.
B.
C.
D.
12.设a和b是向量,则(a+b)×(a+2b)=( )
A.a×b
B.3 a×b
C.b×a
D.a^2+3a×b+b^2
20.函数sinx^2的麦克劳林展开式是( )
A.
B.
C.
D.
13.过点(2,-8,3)且垂直于平面x+2y-3z-2=0的直线方程是( )
A.
B.
C.
D.
14.设函数z=,则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题2分,共20分)
1.设函数f(x)=lnx,g(x)=arcsinx,则函数f[g(x)]的定义域为___________.
3.设函数f(x)= 在x=0处连续,则常数a=___________.
5.函数f(x)=2^x在[-1,5]上的最大值是___________.
7.在空间直角坐标系中,xoz坐标面的方程为___________.
9.设C是直线y=x从(1,1)到(2,2)的一段,则曲线积分_________.
10.微分方程y"-y=0的通解是___________.
2.极限___________.
4.设参数方程确定了函数y=y(x),则=___________.
8.设函数z=arctg,则=___________.
6.不定积分___________.
三、计算题(每小题5分,共25分)
1.求极限〔〕.
2.设函数y=ln,求.
4.计算定积分.
3.设函数f(x)=在x=0处可导,求常数a和b的值.
5.判断无穷级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛.
四、应用和证明题(每小题5分,共15分)
1.设两个非负数之和为8,其中一个为x,s(x)是这两个正数的立方和。求s(x)的最大值和最小值.
3.求由圆柱面x^2+y^2=1,平面x-y-z+4=0及平面z=0所围立体的体积.
2.证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x.
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